2.7 Eventos independientes: Regla de Bayes

 ​El Teorema de Bayes es una herramienta fundamental en la teoría de la probabilidad que permite actualizar la probabilidad de una hipótesis basada en la evidencia observada. Este teorema se expresa matemáticamente como:​

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$​

donde:

• $P(A|B)$ es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B (probabilidad posterior).​
• $P(B|A)$ es la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ha ocurrido el evento A (verosimilitud).​
• $P(A)$es la probabilidad de que ocurra el evento A sin información adicional (probabilidad a priori).​
• $P(B)$ es la probabilidad de que ocurra el evento B (probabilidad marginal).​

Aplicación del Teorema de Bayes en Eventos Independientes:

Dos eventos A y B se consideran independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Matemáticamente, esto se expresa como:​

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$​

En el contexto de eventos independientes, la probabilidad condicional $P(A|B)$ es igual a la probabilidad incondicional $P(A)$, ya que la ocurrencia de B no proporciona información adicional sobre la ocurrencia de A:​

$P(A|B) = P(A)$​

Al aplicar el Teorema de Bayes a eventos independientes, observamos que:​

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$​

Dado que A y B son independientes, $P(B|A) = P(B)$. Sustituyendo en la fórmula:​

$P(A|B) = \frac{P(B) \times P(A)}{P(B)} = P(A)$​

Esto confirma que, en el caso de eventos independientes, la probabilidad condicional $P(A|B)$ es igual a la probabilidad incondicional $P(A)$, lo que es consistente con la definición de independencia.​

Ejemplo Práctico:

Supongamos que lanzamos una moneda justa y un dado de seis caras. Definimos los siguientes eventos:​

• Evento A: Obtener "cara" en la moneda.​
• Evento B: Obtener un "3" en el dado.​

La probabilidad de obtener "cara" en la moneda es $P(A) = 0.5$, y la probabilidad de obtener un "3" en el dado es $P(B) = \frac{1}{6}$.​

Dado que los dos eventos son independientes, la probabilidad conjunta de que ocurran ambos es:​

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$​

Aplicando el Teorema de Bayes para encontrar $P(A|B)$:​

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$​

Dado que A y B son independientes, $P(B|A) = P(B)$, por lo que:​

$P(A|B) = \frac{P(B) \times P(A)}{P(B)} = P(A) = 0.5$​

Este resultado reafirma que, en eventos independientes, la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro.

Referencias

• Reddit. (2013). Teorema de Bayes para eventos independientes. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://www.reddit.com/r/askmath/comments/1geff8w/bayes_theorem_for_independent_events/?tl=es-es

• Academia Carta Blanca. (s.f.). Explicación del Teorema de Bayes: fórmula y ejemplos. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://academiacartablanca.es/blog/teorema-de-bayes-probabilidad/

• Bonilla Bautista, P. I. (2023). Caso 12: Teorema de Bayes. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://rpubs.com/Paola_2411/1011073

• LibreTexts Español. (s.f.). Regla de Bayes, probabilidad condicional e independencia. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://espanol.libretexts.org/Ingenieria/Ingeniería_Industrial_y_de_Sistemas/Libro%3A_Dinámica_y_Controles_de_Procesos_Químicos_(Woolf)/13%3A_Estadísticas_y_antecedentes_probabilísticos/13.04%3A_Regla_Bayes%2C_probabilidad_condicional_e_independencia