2.6 Ley multiplicativa

 ​La ley multiplicativa en probabilidad, también conocida como la regla del producto, permite calcular la probabilidad de que dos eventos, A y B, ocurran simultáneamente (es decir, la probabilidad conjunta de A y B). La aplicación de esta regla depende de si los eventos son independientes o dependientes.​

Eventos Independientes:

Dos eventos A y B se consideran independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. En este caso, la probabilidad conjunta de A y B se calcula multiplicando las probabilidades individuales de cada evento:​

P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Ejemplo: Al lanzar una moneda y un dado, la probabilidad de obtener "cara" en la moneda es 0.5, y la probabilidad de obtener un "3" en el dado es 1/6. Como estos eventos son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente es:​

P(cara y 3)=P(cara)×P(3)=0.5×16=112≈0.0833P(\text{cara y 3}) = P(\text{cara}) \times P(\text{3}) = 0.5 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \approx 0.0833​

Eventos Dependientes:

Dos eventos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. Para eventos dependientes, la probabilidad conjunta se calcula multiplicando la probabilidad del primer evento por la probabilidad condicional del segundo evento dado que el primero ha ocurrido:​

P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)​

Ejemplo: Supongamos que tenemos una caja con 2 canicas azules y 3 rojas. Si extraemos dos canicas sin reemplazo, la probabilidad de que ambas sean azules es:

  1. Probabilidad de extraer una canica azul en el primer intento:

    P(A1)=25P(A_1) = \frac{2}{5}

  2. Si la primera canica extraída es azul, quedan 1 azul y 3 rojas, es decir, 4 canicas en total. La probabilidad de que la segunda canica sea azul dado que la primera fue azul es:​

    P(A2∣A1)=14P(A_2|A_1) = \frac{1}{4}

  3. Entonces, la probabilidad de que ambas canicas sean azules es:​

    P(A1∩A2)=P(A1)×P(A2∣A1)=25×14=220=110=0.1P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0.1

Es importante destacar que la ley multiplicativa es una herramienta fundamental en la teoría de la probabilidad, ya que permite determinar la probabilidad conjunta de eventos, considerando la naturaleza de su dependencia o independencia.
Referencias

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