2.2 Teoría elemental de probabilidad.

Teoría Elemental de Probabilidad

-Se originó con Pascal y Fermat en el siglo XVII en el contexto de los juegos de azar.
-Formalizada por Kolmogórov con un enfoque axiomático basado en la teoría de la medida.
-Un espacio muestral ($\Omega$) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
-Un evento es un subconjunto de Ω.

-Se definen operaciones básicas de eventos: unión ($\cup$), intersección ($\cap$) y complemento ($A^c$).

Un modelo de probabilidad finito se define con una función de probabilidad $P(A)$ que satisface:

1. $0 \leq P(A) \leq 1$
   
2. $P(\Omega) = 1$
   
3. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
   

Fundamentos de la Teoría de Probabilidades

• Kolmogórov formuló los axiomas de probabilidad:
  1. $P(\Omega) = 1$
     
  2. $P(A) \geq 0$
     
  3. Si $A_1, A_2, ...$ son eventos mutuamente excluyentes, entonces $P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...$
     
• Probabilidad condicional: $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ cuando $P(A) > 0$.
• Independencia de eventos: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Convergencia de Variables Aleatorias

Convergencia en probabilidad: 

𝑋n→X si 𝑃(∣𝑋𝑛 −X∣>ϵ)→0 cuando n→∞.

Convergencia casi segura: 

P(limXn =X)=1.

​Ley de los grandes números (LGN):

​Débil: Si X1,X2,...son independientes con esperanzaE[Xi]=μ, entonces 1/n ∑Xi→μ en probabilidad.

Fuerte: La misma convergencia ocurre casi seguramente.

Referencias
Almeida, C. (2020). Teoría de Probabilidades: Notas de Clase. Escuela Politécnica Nacional. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://alephsub0.org/wp-content/uploads/2021/11/EPN_Grado_TeoriaProbabilidades_NotasClase.pdf