2.1 Técnicas de conteo

INTRODUCCIÓN
¿Qué es la probabilidad?

Empezamos abordando el primer concepto de este blog, el cual será 'probabilidad', la probabilidad es la manera de estar seguros de que un evento sucederá.

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa (oportunidad o casualidad) de un evento.

0 significa que el evento es imposible

1 significa que el evento es seguro

Concepto:

Aplicaciones de la probabilidad en la vida real

• Juego de azar: Casinos - consideran la probabilidad de que un cliente gane, lo cual es baja, causa que los dueños ganen dinero
  
  
  
• Meteorología: predicciones del clima durante los días siguientes debido a años anteriores.
  
  
  
• Decisiones médicas: probabilidad de éxito para un tratamiento o operación.
• Esperanza de vida: medida del promedio de años que se espera que viva una persona.
  
  
  
• Primas de seguros- analizará el historial del usuario para determinar la prima que se aplicará.
  
  
  
• Análisis de riesgos: análisis de riesgo que conlleva una decisión.
• Mercado de materias primas: es el cambio de precios de algún objeto o prima en el mercado, por ejemplo las criptomonedas o precios de oro incluso el dólar.
• Fiabilidad de los productos: Probabilidad de avería- análisis de una avería la cual se utiliza como beneficio para crear garantía de vendedores.

Principales conceptos:

Experimento: Proceso que induce a que ocurra una y solo una de varias posibles observaciones.

Resultado: Ocurrencia particular de un experimento

Evento: Conjunto de uno o más resultados de un experimento

Probabilidad clásica

Ejercicio

Considere el experimento de lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad del evento cae un número par de puntos?

Si lanzamos un dado, los números pares son {2, 4, 6}. Aplicamos la fórmula de probabilidad clásica y obtenemos lo siguiente:

Conceptos:

Mutuamente excluyente: son dos sucesos incompatibles que es imposible que se produzcan ambos a la vez.

Probabilidad empírica

La probabilidad de un evento representa una fracción de los sucesos similares en el pasado. Se denota con la siguiente fórmula:

Probabilidad empírica        

Ley de los grandes números
Es una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se aproximará a su probabilidad real.

Probabilidad subjetiva
Posibilidad (probabilidad) de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información disponible.

2.1.1 Principio aditivo

El principio aditivo es una técnica de conteo en Probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que, a su vez, tiene varias alternativas para ser realizada de las cuales se puede elegir solo una a la vez.

Regla especial de la adición              

Ejemplo

Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de estos contienen el peso correcto, aunque, como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y de algunas verduras, un paquete podría pesar menos o más.

Una revisión de 4000 paquetes que se llenaron el mes previo arrojó los siguientes datos:

Cálculo de $P(A\text{ o }C)$:

$$P(A\text{ o }C)=P(A)+P(C)$$$$=0.025+0.075$$$$=0.100$$

Regla del complemento

La  regla del complemento  se basa en la idea de que dos partes forman un todo. En probabilidad, el "todo" se refiere a todos los resultados posibles. Creo que es más fácil pensar en esto como el 100 %, que como sabemos, es simplemente 1. Por lo tanto, la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles debe ser igual a 1.

Fórmula           

Ejemplo

La aplicación más común de esta regla es cuando vemos probabilidades que utilizan la expresión "al menos 1". Por ejemplo, supongamos que un grupo de 25 estudiantes tuviera que indicar si iban a almorzar en la escuela o no (sí/no). Quieres encontrar la probabilidad de que haya al menos 1 persona que vaya a comer en la escuela.

Si aplicamos el proceso de pensamiento que hemos estado utilizando, hay  26 resultados posibles : 0 a 25. Los  resultados deseados  incluyen los resultados del 1 al 25. Eso significa que tendríamos que calcular la probabilidad de cada uno de esos valores individualmente, ¡lo cual es tedioso! 

Si lo analizamos de otra manera, podemos ver que, si bien los resultados deseados son 1-25, el resultado 0 no lo es. Si utilizamos la lógica de que dos partes forman un todo, podemos aplicar la siguiente lógica para abordar este problema:

[probabilidad de resultados deseados] + [probabilidad de resultados no deseados] = 1

Podemos reorganizar esto para indicar que la [probabilidad de resultados deseados] = 1 - [probabilidad de resultados no deseados]. Por lo tanto, si encontramos la probabilidad de que haya 0 personas, podemos restarla de 1 para encontrar la probabilidad para este escenario. Digamos que la probabilidad de que nadie almuerce en la escuela es 0,06. Eso significa que  la probabilidad de que al menos una persona almuerce en la escuela es  1 - 0,06 =  0,94  o 94%.

Este enfoque funciona con cualquier situación en la que se puedan dividir los resultados en resultados deseados (exitosos) y no deseados (fracaso). Exploraremos escenarios similares a este con más detalle en la pestaña de probabilidad binomial.

2.1.2 Principio Multiplicativo

El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento. 

EJEMPLO: Mario tenía mucha sed, así que fue a la panadería a comprar un jugo. Luis lo atiende y le dice que tiene dos tamaños: grande y pequeño; y cuatro sabores: manzana, naranja, limón y uva. ¿De cuantas maneras puede Mario escoger el jugo?

Solución En el diagrama puede observarse que Mario tiene 8 maneras distintas para escoger el jugo y que, al igual que en el principio multiplicativo, este resultado se obtiene por la multiplicación de n * m. La única diferencia es que a través de este diagrama puede saberse cómo son las maneras en que Mario escoge el jugo.

Regla especial de la multiplicación 

 La regla de la multiplicación o regla del producto, permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla depende de si los eventos son dependientes o independientes.

Independencia. Si un evento ocurre, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca.

Regla especial de la multiplicación:

$$P(A\text{ y }B)=P(A)P(B)$$

Regla general de la multiplicación

Probabilidad condicional: Probabilidad de que un evento en particular ocurra, dado que otro evento haya acontecido.

Regla general de la multiplicación:

$$P(A\text{ y }B)=P(A)P(B\mathrm{\mid }A)$$

$$<b>2.1.3\; Notación\; factorial</b>$$

$$-La\; notación\; factorial\; se\; usa\; para\; calcular\; el\; producto\; de\; los\; primeros\; n\; números\; naturales,\; es\; decir,\; los\; enteros\; positivos,\; comenzando\; desde\; el\; 1\; hasta\; el\; valor\; de\; n.\; Se\; denota\; mediante\; un\; signo\; de\; admiración\; y\; se\; llama\; n\; factorial<br>-En\; probabilidad,\; el\; factorial\; se\; utiliza\; para\; calcular\; el\; número\; total\; de\; resultados\; posibles\; en\; un\; espacio\; muestral.\; Esto\; ayuda\; a\; calcular\; las\; posibilidades\; de\; que\; ocurra\; un\; evento\; específico.$$

Se  usa  la NOTACIÓN  FACTORIAL,  representada  por  el  símbolo  “  !  “, para  denotar  el  producto  de  los  enteros  positivos  desde  1  hasta n. Notación  factorial:  es  el  producto  de  n  entero  positivo  hasta  1.  En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24

1.- Por conveniencia se acordó definir 0! como igual a 1, es decir: 0! = 1.

2.- El valor de 1! = 1

3.- Si a! = b!, significa que a = b, siempre que a⋅b ≠ 0. La excepción son los valores 0 y 1, ya que 1! = 1 = 0!, como se acaba de enunciar, pero es claro que 1 ≠ 0.

4.- Si m < n, entonces m! < n! y por tanto m! está contenido en n!:

n! = 1⋅2⋅ 3⋅ 4… (m -1)⋅m…n

5.- Para n mayor o igual a 2 se tiene que:

n! = n⋅(n-1)!

Ya que según la definición:

n! = [1⋅2⋅3⋅ 4⋅5 …. (n-1)]⋅n

La expresión contenida entre corchetes es precisamente (n-1)!

6.- n⋅n! = (n+1)! – n!

En efecto, planteando las operaciones del lado derecho de la igualdad:

(n+1)! – n! = [1 ⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 … n ⋅ (n+1)] – [1 ⋅2⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5 …. n] =

=[1⋅2⋅3⋅ 4 ⋅ 5 …. n]⋅[(n+1) – 1] = [1 ⋅2⋅3⋅ 4 ⋅5 …. n]⋅ n = n! ⋅ n

Ejemplo

Las siguientes expresiones fraccionarias se pueden simplificar al usar las propiedades:

2.1.4 Permutaciones

En matemáticas, una permutación de un conjunto es, en términos generales, una disposición de sus miembros en una secuencia u orden lineal, o si el conjunto ya está ordenado, una variación del orden o posición de los elementos de un conjunto ordenado

Una permutación es el número de maneras distintas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto. Si el conjunto consta de m elementos y estos se quieren disponer en grupos de tamaño n, entonces se requiere que .

Reglas

1. Sí importa el orden de los grupos, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación
2. No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre sí, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación

3. Se pueden usar factoriales para resolverlos

Fórmula:

Para obtener el total de maneras en que se pueden colocar m elementos en n posiciones, si en dado caso,  para calcular el total de permutaciones se utiliza la siguiente fórmula:

Ejemplo:

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de siete butacas?

Como se tiene 8 personas y estas son diferentes, ya que no nos indican que hayan dos iguales y se quieren sentar en 7 butacas, entonces m¿n por lo que empleamos

Así, hay  formas distintas de sentar a ocho personas en cinco butacas.

2.1.5 Combinaciones

 Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa pero el orden no. Dos eventos son dependientes si el estado original de la situación cambia de un evento al otro, y esto altera la probabilidad del segundo evento.

A diferencia de las permutaciones, donde el orden importa, en las combinaciones solo nos interesa la selección de los elementos, sin importar el orden en el que aparecen: 

Combinaciones: (A, B, C) es igual a (B, A, C)

Dado un experimento aleatorio con una población N y una muestra n, si en la muestra no existe orden ni repetición, el número de elementos del espacio muestral corresponde a la combinatoria de n en N, la cual se simboliza NCn 

 

n es el total de elementos disponibles.

r es la cantidad de elementos que seleccionamos.

n! significa factorial de n

Hallar el número de formas en que se pueden mezclar cinco colores: amarillo (a), verde (v), rojo (r), blanco (b) y café (c), tomándolos de tres en tres.

Solución:

En este experimento se deben mezclar 5 colores tomándolos de a 3. Por tal razón, la población es N=5 y la muestra n=3.

En este experimento el orden no se tienen en cuenta ya que da el mismo resultado combinar el color amarillo, el verde y el rojo, que si se toma primero el verde, luego el rojo y por último el amarillo. Con esto, el número de elementos del espacio muestral es:

2.1.6 Diagrama de árbol

 Un diagrama de árbol es una representación gráfica utilizada para mostrar datos que siguen un modelo jerárquico. Proveniente de la semejanza de un árbol, utiliza ramas para representar la subdivisión de actividades o procesos.

Componentes clave de un diagrama de árbol

Entender los elementos fundamentales de un diagrama de árbol puede proporcionar ideas más claras sobre su construcción e interpretación, unas de las maneras fáciles de crear es determinar una tabla de contingencia.

Tabla de contingencia: Se utiliza para clasificar observaciones de una muestra de acuerdo con dos o más características identificables.

Estos son los componentes de un diagrama de árbol y aplicaciones:

1. Nodos y ramas

En el núcleo de un diagrama de árbol están los nodos, que simbolizan puntos de datos, eventos o decisiones. Las ramas conectan estos nodos, ilustrando las relaciones o flujos entre ellos.

2. Estructura jerárquica

El modelo jerárquico del diagrama de árbol es fundamental, con cada rama que se origina en un nodo, representando subdivisiones o pasos sucesivos en el proceso.

3. Tipos de diagramas de árbol

Los diagramas de árbol vienen en varias formas, cada uno adaptado a una aplicación o campo específico. Los más comúnmente utilizados incluyen:

4. Árboles genealógicos

A menudo utilizados en biología y genealogía, los 

árboles genealógicos

 trazan linaje y conexiones genéticas, presentando una visualización clara de las relaciones familiares y las progresiones generacionales.

5. Árboles de decisión

Ampliamente adoptados en análisis de negocios y ciencias de la decisión, un 

creador de árboles de decisión

 te ayuda a visualizar posibles resultados y decisiones, permitiendo a los analistas anticipar riesgos y oportunidades.

6. Árboles de fallos

Principalmente utilizados en ingeniería y análisis de seguridad, estos árboles identifican y analizan posibles fallos del sistema, permitiendo acciones preventivas.

7. Árboles organizacionales

En el sector corporativo, es común usar un creador de gráficos organizacionales para ilustrar la estructura organizativa, detallando roles, jerarquías y dinámicas de equipo. 

Crear un organigrama

 ayuda mucho a reconocer visualmente a una organización.

8. Aplicaciones prácticas de los diagramas de árbol

Desde el aula hasta la sala de reuniones, los diagramas de árbol tienen utilidad en diversos dominios.

9. Negocios y gestión

Los diagramas de árbol juegan un papel vital en la planificación de proyectos, la formulación de estrategias y el análisis de riesgos, proporcionando a los gerentes una vista comprensiva de los desafíos y soluciones potenciales.

10. Ciencia e investigación

Los investigadores a menudo despliegan diagramas de árbol para categorizar datos, identificar patrones y visualizar constructos de investigación complejos, asegurando claridad en el análisis.

2.1.7 Teorema del binomio

El teorema del binomio se utiliza para calcular la probabilidad de eventos binomiales, es decir, eventos que solo tienen dos posibles resultados (éxitos o fracaso) y se repiten un número finito de veces de forma independiente.

Distribución Binomial:
En probabilidad, el teorema del binomio se usa para calcular la probabilidad de obtener un número exacto de éxitos en una serie de ensayos independientes. La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria binomial es:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

donde:

• $n$ es el número total de ensayos.
• $k$ es el número de éxitos deseados.
• $p$ es la probabilidad de éxito en un solo ensayo.
• $1-p$ es la probabilidad de fracaso.
• $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el coeficiente binomial.

Ejemplo:
Si lanzamos una moneda 5 veces ($n=5$), la probabilidad de obtener exactamente 3 caras ($k=3$) es:

$$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)(0.5{)}^3(0.5{)}^2=\frac{5!}{3!(5-3)!}\times 0.125\times 0.25=0.3125$$

Esto muestra cómo el teorema del binomio se aplica al cálculo de probabilidades.

2. Ensayos de Bernoulli y Probabilidad Acumulada
   • Cada intento en una Distribución Binomial es un Ensayo de Bernoulli (éxito o fracaso).
   • Con el Teorema del Binomio, podemos calcular la probabilidad acumulada de que un evento ocurra al menos una vez en varios intentos.

3. Ejemplos de Aplicación en Probabilidad
• Probabilidad de aciertos en un examen de opción múltiple.
• Número de clientes que compran un producto en una tienda, basado en tasas de conversión.
• Probabilidad de defectos en un lote de producción.

Referencias

Entender las mates. (s.f.). Aplicaciones de la probabilidad en la vida cotidiana. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://entenderlasmates.blogspot.com/2018/05/aplicaciones-de-la-probabilidad-en-la.html
Economipedia. (s.f.). Probabilidad. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://economipedia.com/definiciones/probabilidad.html
Economipedia. (s.f.). Eventos mutuamente excluyentes. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://economipedia.com/definiciones/eventos-mutuamente-excluyentes.html
Hernández Juárez, R. A. (s.f.). [Título del documento]. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://issuu.com/ronyjuarez14/docs/act.2-2_hern_ndez_ju_rez_rony_alexander__1_/s/10382210
National University. (s.f.). Complement rule. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://resources.nu.edu/statsresources/ComplementRule
Hernández Juárez, R. A. (s.f.). [Título del documento]. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://issuu.com/ronyjuarez14/docs/act.2-2_hern_ndez_ju_rez_rony_alexander__1_/s/10382214
Matemóvil. (s.f.). Regla de la multiplicación o producto de probabilidades. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/
Lifeder. (s.f.). Notación factorial. Recuperado el 9 de marzo de 2025, de https://www.lifeder.com/notacion-factorial/
Universidad Tecnológica Mesoamericana. (s.f.). Notación factorial: Apuntes Unidad I. Recuperado el 11 de marzo de 2025, de https://www.studocu.com/es-mx/document/universidad-tecnologica-mesoamericana-sc/probabilidad-y-estadistica/notacion-factorial-apuntes-unidad-i/21722241
Teachy. (s.f.). Resumen de análisis combinatorio: factorial. Recuperado el 11 de marzo de 2025, de https://www.teachy.app/es/resumenes/educacion-media/media-superior-2-grado/matematicas-a-espanol/resumen-de-analisis-combinatorio-factorial
Superprof. (s.f.). Permutaciones. Recuperado el 11 de marzo de 2025, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/permutaciones.html
Wikipedia. (s.f.). Permutación. Recuperado el 11 de marzo de 2025, de https://es.wikipedia.org/wiki/Permutación
Probabilidad19. (s.f.). Combinaciones y permutaciones. Recuperado el 11 de marzo de 2025, de https://probabilidad19.webnode.com.co/combinaciones-y-permutaciones/
Miro. (s.f.). ¿Qué es un diagrama de árbol?. Recuperado el 11 de marzo de 2025, de https://miro.com/es/diagrama/que-es-diagrama-arbol/
Mi Portal. (s.f.). El teorema del binomio: historia, aplicaciones y generalizaciones. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://miportal.integrandoslp.com/topic/lectura-el-teorema-del-binomio-historia-aplicaciones-y-generalizaciones-3/
Math Nirvana. (s.f.). Teorema del binomio (expansión) | Ensayos de Bernoulli. Recuperado el 12 de marzo de 2025, de https://www.mathnirvana.com/es/math-rules/binomial-theorem-expansion.htm